Uma transformação localmente reversível, globalmente ambígua
À esquerda estão as projeções dos três pontos reais A, B e C. À direita está a projeção de F(A), F(B) e F(C): o mesmo ponto T = (−¼, 0, 0). As setas indicam correspondência pelo mapa, não uma animação ou trajetória física.
Uma única curva já testemunha a colisão tripla
A curva γ(t) passa por C, A e B quando t = −1, 0 e 1. Cada painel abaixo usa sua própria escala vertical e mostra, sem truncamento, uma coordenada de F(γ(t)). Nas três marcas, os valores são simultaneamente (−¼, 0, 0).
F(γ(−1)) = F(γ(0)) = F(γ(1)) = (−1/4, 0, 0)
Não há “local do crime”
Em cada pré-imagem da colisão, a derivada é uma matriz invertível. Um cubinho infinitesimal vira um paralelepípedo de volume orientado −2 — nunca uma lâmina, linha ou ponto.
A conjectura geral caiu; o plano ainda resiste
O mapa é F=(P,Q,R): ℂ³→ℂ³. Como seus coeficientes e os três pontos são reais, a colisão já aparece na restrição ℝ³→ℝ³ que esta página desenha.
Q = y + 3x(1+xy)²z + 3xy²(4+3xy)
R = 2x − 3x²y − x³z
O que foi refutado
A afirmação de que todo mapa polinomial complexo com determinante jacobiano constante e não nulo possui inversa polinomial, em todas as dimensões. Um contraexemplo em dimensão 3 basta.
O que permanece aberto
O caso em duas variáveis, ℂ²→ℂ². A falha em dimensão 3 não produz automaticamente uma falha no plano.
Por que “sem vinco”
O determinante nunca zera. Portanto, perto de cada ponto, F continua sendo reversível. A perda de identidade só aparece quando comparamos regiões globalmente distintas.
O detalhe mais estranho
Não precisamos imaginar a colisão em seis dimensões reais: os três pontos conflitantes já pertencem ao subespaço real ℝ³ e têm a mesma imagem real.